கணிதம்-பாரதத்தின் வித்து

பை (pi-π) என்பது நமக்கெல்லாம் ரொம்பவும் பரிச்சயமான ஒரு எண். ஆனால் இரகசியங்கள் பொதிந்ததும் கூட.
எந்த ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவையும் அதன் விட்டத்தால் வகுத்தால் கிடைக்கும் எண் பை. ஆனால் அந்த எண்ணுக்கு முடிவு கிடையாது. அது முடிவற்று நீண்டு கொண்டே செல்வது. அதை ஒரு ratio வாக அதாவது விகிதமாக எழுத முடியாது. உதாரணமாக 4 என்பதை 4/2 என்று சொல்லலாம்.

அப்படி பைக்கு சொல்ல முடியாது. ஆங்கிலத்தில் இப்படிப்பட்ட எண்களை irrational எண்கள் என சொல்வார்கள்.
ஆனால் நாம் தேர்ந்தெடுக்கும் விகிதங்கள் மூலமாக ’பை’யின் பின்ன புள்ளிக்கு பின்னால் சற்றேறக்குறைய இத்தனை இடங்களுக்கு சரியாக சொல்லலாம். உதாரணமாக 22/7 என்பதை நாம் பயன்படுத்துகிறோம். அதில் நமக்கு கிடைப்பது 3.1428 … என செல்லும். ’பை’யின் மதிப்போ 3.14159… என செல்லும். அதாவது பின்ன புள்ளிக்கு பின்னால் மூன்றாவது இடத்தில் தோராயமாக முடித்து கொள்கிறோம்.

வட்டம் என்பது ஒரு அடிப்படை வடிவம். அதனைக் கொண்டே பல பொறியியல் விஷயங்கள் செய்யப்படுகின்றன. பண்டைக்காலம் தொட்டே அப்படித்தான். எனவே பழைய பண்பாடுகளெல்லாம் இந்த பை என பின்னால் நாமகரணம் செய்யப்பட்ட எண் குறித்து அறிந்திருந்ததில் வியப்பில்லைதான். ஆனால் ஒரு பிரச்சனை அன்று இருந்தது.
மேற்கத்திய பண்பாட்டில் விகித தன்மைக்குள் அடங்காமல் நீளும் எண்களுக்கு இடமில்லை. இது கிரேக்க சிந்தனை மரபு தொடங்கி கிறிஸ்தவ இறையியலிலும் நீட்சி கொண்டது. பித்தகோரஸின் சிந்தனையிலேயே தொடங்கிவிட்டது என்கிறார்கள்.

அதாவது அவர்கள் இயற்கையை முழுமையான வடிவங்களுடன் தொடர்பு படுத்தி கற்பிதப்படுத்திக் கொண்டார்கள். அவை நிறைவானவை. எப்படி நிறைவானவை? மனித மனம் எப்படி நிறைவை கற்பனை செய்கிறதோ எப்படி அதனால் கற்பனை செய்ய முடியுமோ அப்படி. இயற்கையின் பரிபூரணம் என்பது மனித அழகியலுக்கு உட்பட்டது. பிரபஞ்ச கோளங்களின் இசைவு (harmony of spheres) என்பது பித்தகோரஸால் கற்பிக்கப்பட்டது. அதில் அவரது சீடர்களுக்கு அசைக்க முடியாத நம்பிக்கை இருந்தது.

ஒரு மரபு வழி செய்தி உண்டு.

ஹிப்போலஸ் என்கிற கிரேக்க கணித-தத்துவ மேதை. பொது யுகத்துக்கு முன்னான ஐந்தாம் நூற்றாண்டைச் சார்ந்தவர். இவர் நண்பர்களுடன் படகில் சென்று கொண்டிருக்கிறார். அப்போது அவர் நண்பர்களுடன் தன் கண்டுபிடிப்பு ஒன்றை விவரித்தார். இந்த இரண்டு என்கிற எண்ணின் வர்க்கமூலம் இருக்கிறதே அது முடிவில்லாமல் போகும். அதை ஒரு விகிதமாக சொல்ல இயலாது. அவர்கள் அனைவரும் பித்தோகோரஸ் கோட்பாட்டை நம்புகிறவர்கள். ஹிப்போலஸும் கூட பித்தோகோரஸ் கோட்பாட்டாளர்தான். ஆனால் அவர் கண்டுபிடித்த விஷயம் பித்தோகோரஸிய நம்பிக்கைகளுக்கு விரோதமானது. பிரபஞ்ச ஒழுங்கு என அவர்கள் கருதியதை பொய் என சொன்னது. அவர்களால் இதை சகிக்க முடியவில்லை. அவர்கள் இதற்கு ஒரு தீர்வு கண்டனர். படகிலிருந்து ஹிப்போலஸை தள்ளினர். அந்த நீரில் அழுத்திக் கொன்றுவிட்டனர். தீர்ந்தது பிரச்சனை!

பாரதத்தில் பொது யுகத்துக்கு முன் – ஆறாம் ஆனால் பை விஷயத்தில் என்ன பிரச்சனை என்றால் அப்படி நீரில் மூழ்கடித்து கொல்ல முடியாது பையை. எனவே பிரச்சனையே இல்லாதது போல தோராய மதிப்பையே உண்மையான மதிப்பாகக் கொள்ள வேண்டியதுதான். அது வட்டங்களைக் கொண்டு நிஜ உலகில் வேலை செய்பவர்களின் பிரச்சனை. தத்துவ ஞானிகளும் கணித மேதைகளும் அதைக் குறித்து பெரிதாக கவலைப்பட வேண்டியதில்லை.

இன்றைக்கும் மேற்கத்திய உலகில் கிறிஸ்தவ நம்பிக்கையாளர்களுக்கும் சுதந்திர சிந்தனையாளர்களுக்கும் பைபிளில் உணர்ந்த்தப்பட்டிருக்கும் பையின் அளவு மூன்றா இல்லையா என ஒரு விவாதம் ஓடிக்கொண்டுதான் இருக்கிறது. எல்லா பண்டைய பண்பாடுகளிலும் ஒரு தோராயமான மதிப்பை அசலாக எடுத்துக் கொண்டு தங்கள் பொறியியல் சாதனைகளை செய்திருக்கிறார்கள் – எகிப்தியர்கள், சுமேரியர்கள், கிரேக்கர்கள் அனைவரும்.

பாரதத்துக்கு வருவோம்.

இங்கும் ’பை’க்கு மதிப்பு குறித்து சமன்பாடுகள் உருவாகின. இவை மிகவும் ஸ்தூலமான பௌதீகமான விஷயங்களின் அடிப்படையிலிருந்து உருவானவை. வேத அக்னி மேடைகள் அமைக்க விதிகள் உள்ளன. இவ்விதிகளே ஜியோமிதம் என்கிற வடிவ கணிதம் உருவாக அடிப்படை உந்துசக்தி. வட்டத்திலிருந்து அதே பரப்பளவைக் கொண்ட சதுரத்தை உருவாக்கும் முயற்சிகள் -squaring the circle- இவற்றில் முக்கியமானவை. இங்கே ‘பை’க்கான ஏகதேச மதிப்புக்கான தேடலுக்கான வித்து பாரத மனதில் விழுந்தது. சுல்பசூத்திரங்கள் வேதி மேடைகளை உருவாக்கும் விதிகளைப் பெற கணிதத்தை பயன்படுத்தும் நூல்கள். இந்நூல்களில் ’பை’யின் அளவு சில சூத்திரங்களால் தோராயமாகப் பெறப்படுகிறது. இதுதான் மதிப்பு என்று அறுதியிட்டு நிற்காமல் ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லைக்குள் மதிப்புகள் பெறப்பட்டன.

அடுத்த முக்கியமான முன்னகர்வு ஆரிய பட்டருடையது.

நூறுடன் நான்கைக் கூட்டுங்கள். அதனை எட்டால் பெருக்குங்கள். கிடைப்பதுடன் 62000-த்தைக் கூட்டுங்கள். இதில் கிடைப்பதுதான் 20,000 அலகுகளை விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தோராயமான சுற்றளவு. இதுதான் ஆரியபட்டர் தரும் சூத்திரம். இதன் அடிப்படையில் ‘பை’யின் மதிப்பு 62,832/20,000 = 3.1416 பின்னப்புள்ளிக்கு நான்கு இடங்கள் சரியாக அமைகிறது. அவரது காலகட்டத்தில் ‘பை’யின் மதிப்பை இந்த அளவுக்கு துல்லியத்துடன் தெளிவாக வந்தடைந்த கணிதவியலாளர் உலகில் வேறு எவருமிலர். ஆனால் இதில் இன்னும் ஆச்சரியம் தருகிற விஷயம் என்னவென்றால் ‘தோராயமான’ (வடமொழியில் ’ஆசன்ன’) என்கிற பதம்தான்.

அதாவது அன்றைய காலகட்டத்துக்கு மிகவும் துல்லியமாக ‘பை’யின் அளவைக் கணித்த பிறகும் ஆரிய பட்டர் ஏன் ’தோராயமான’ என்கிற பதத்தைப் பயன்படுத்தினார்? ஆரிய பட்டருக்கு பின்னர் வந்த நீலகண்ட சோமயாஜி (1444-1540) ஆரியபட்டர் எழுதிய ஆரியபடீயத்துக்கு ஒரு பாஷ்யம் எழுதினார் – ஆரியபடீய பாஷ்யம். அதில் அவர் இதற்கு தெளிவாக விளக்கம் அளிக்கிறார். ஏனென்றால் ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவை அதன் விட்டத்தால் வகுக்கும் போது மீதமின்மை (நிரவயவத்வம்) என்பது எப்போதும் ஏற்படாது. மாறாக ‘அல்பாவயவர்த்வம்’ அதாவது நுணுகி நுணுகி எனினும் மீதம் எப்போதும் இருக்கும் ஒரு நிலையே ஏற்படும்.

அதாவது ‘பை’ என்பது விகிதத்தால் வரையறை செய்யப்பட்டு அடங்கும் ஒரு எண் அல்ல என்பது ஆரியபட்டருக்கு தெரிந்திருந்தது என்பது நீலகண்ட சோமயாஜியின் முடிவு. இதே பாஷ்யத்தில் ஒரு முடிவிலி-தொடர்ச்சியான சமன்பாட்டின் (infinite series) மூலம் ‘பை’க்கு ஒரு மதிப்பினை கண்டடைதல் என்பதை உருவாக்கியவராக மாதவர் (1380-1420) என்கிற கேரள கணித மேதையை சோமயாஜி குறிப்பிடுகிறார்.

இதன் அடிப்படையில் பாஷ்யத்தில் ‘பை’க்கான எண் மதிப்பொன்றை அளிக்கிறார்:

கற்றுணர்ந்த அறிஞர்கள் தன்னுடைய விட்டத்தின் மதிப்பாக 900000000000 கொண்ட வட்டத்தின் சுற்றளவு 2827433388233 என கூறுவார்கள். இதைக் கணக்கிட்டு பார்க்கும் போது பையின் எண் மதிப்பாக கிடைக்கப்பெறுவது 3.14159265359. இது பின்ன புள்ளிக்கு பின்னர் பத்து எண் மதிப்புக்கு சரியாக இருக்கிறது. நீலகண்ட சோமயாஜியின் மாணக்கர் சங்கர வாரியர் (1500-1560). இவர் பாஸ்கராச்சாரியாரின் லீலாவதிக்கு பாஷ்யமாக எழுதிய நூலில் பைக்கான மதிப்பீட்டுக்கு 113 விட்டமும் 355 சுற்றளவு கொண்ட வட்டத்தையும், 1,04,348 அலகுகள் சுற்றளவும் 33,215 அலகுகள் விட்டமும் கொண்ட மற்றோரு வட்டத்தையும் பயன்படுத்துகிறார்.

இதில் இரண்டாவது வட்டத்திலிருந்து கிடைக்கும் எண் மதிப்பு o 3.1415926539211.
நம் பாரம்பரிய கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்திய மற்றொரு சுவாரசியமான முறை கடபயாடி என்பது. இது எண்களையும் எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் ருசிகரமான விடுகதை பாட்டு போல கணித புதிர்களையும் விடைகளையும் உள்ளடக்கிய வரிகள்.

பூரி சங்கர மடத்தின் சங்கராச்சாரிய பீடத்தை அலங்கரித்த சுவாமி பாரதி கிருஷ்ண தீர்த்தர் அபூர்வமான ஒரு ஆளுமை. அவர் சங்கராச்சாரியார் ஆகுவதற்கு முன்னால் 1921 இல் காந்திஜியின் விடுதலை போராட்டத்தில் இணைந்து கைதானவர். கணித மேதையும் கூட. 1925 இல் அவர் பூரி சங்கராச்சாரியார் ஆனார். அவர் உருவாக்கிய கடபயாடி சுலோகம் வெளிப்படையாக திருமாலை துதி செய்வது. ஆனால் அதில் எழுத்துக்களில் எண் மதிப்புகளை பொருத்தி பார்க்கும் போது அதில் ‘பை’க்கான மதிப்பு தசம புள்ளிக்கு பின் 17 எண்களுக்கு சரியாக பெறப்படும்படியாக அமைந்துள்ளது.
கணித மேதை ராமானுஜமும் ‘பை’க்கான எண் மதிப்புகளை அளிக்கும் சமன்பாடுகளை உருவாக்கியுள்ளார். அவர் உருவாக்கிய ஐந்து சமன்பாடுகள் முறையே பின்னபுள்ளிக்கு பின் 15, 16, 18, 22, 31 எண்கள் வரைக்கும் துல்லியமாக அமைந்துள்ளன.

இவை அனைத்திலும் ஒரு பண்பாட்டு தொடர்ச்சியையும் காணலாம். கணிதத்தினை அதன் ஆற்றொழுக்கில் கற்றுணரும் தன்மையை இந்திய பாரம்பரிய கணிதவியலில் காணலாம். எனவே ஐரோப்பிய கணித மரபு வந்தடைவதற்கு சில நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னரே ‘பை’யின் எண் மதிப்பு குறித்தும் அதன் இயற்கை குறித்தும் பாரதிய கணிதவியலாளர்கள் உண்மைகளை கண்டடைந்தார்கள்.

சுல்பசூத்திரங்களில் ஆபஸ்தம்பரும் (பொமு ஆறாம் நூற்றாண்டு) காத்யாயனரும் (பொமு மூன்றாம் நூற்றாண்டு) இரண்டின் வர்க்கமூலத்தை அதன் பின்ன புள்ளிக்கு பின்னால் ஐந்து இலக்கத்துக்கு துல்லியமாக கண்டடைந்தனர். அவர்கள் ஹிப்போலஸ் போல கொல்லப்படவில்லை.